有奖数学题解答

Sat, 01 Aug 2026 00:00:00 +0000

§ 题目

在 $\triangle ABC$ 中，

$$ AE\perp BC,\qquad BF\perp AC,\qquad CD\perp AB, $$

垂足分别为 $E、F、D$。已知

$$ DE=15,\qquad EF=8,\qquad DF=17, $$

求 $\triangle ABC$ 的面积。

§ 解答

§ 一、判断 △DEF 的形状

因为

$$ DE^2+EF^2=15^2+8^2 =225+64 =289 =17^2 =DF^2, $$

所以根据勾股定理的逆定理，得到

$$ \boxed{\angle DEF=90^\circ}. $$

因此，$\triangle DEF$ 是以 $DF$ 为斜边的直角三角形。

它的面积为

$$ S_{\triangle DEF} =\frac12\cdot DE\cdot EF =\frac12\cdot15\cdot8 =60. $$

即

$$ \boxed{S_{\triangle DEF}=60}. $$

§ 二、证明 AB、BC、AC 分别是 △DEF 的外角平分线

§ 1. 先证明三个四边形共圆

因为

$$ CD\perp AB, $$

并且 $D$ 在 $AB$ 上，所以

$$ \angle ADC=90^\circ. $$

又因为

$$ AE\perp BC, $$

并且 $E$ 在 $BC$ 上，所以

$$ \angle AEC=90^\circ. $$

于是

$$ \angle ADC=\angle AEC=90^\circ, $$

所以 $A、D、E、C$ 四点在以 $AC$ 为直径的圆上，即

$$ \boxed{A、D、E、C\text{ 四点共圆}}. $$

同理，因为

$$ \angle BDC=\angle BFC=90^\circ, $$

所以

$$ \boxed{B、C、D、F\text{ 四点共圆}}. $$

又因为

$$ \angle AEB=\angle AFB=90^\circ, $$

所以

$$ \boxed{A、B、E、F\text{ 四点共圆}}. $$

§ 2. 证明 AB 是 D 点的外角平分线

因为 $A、D、E、C$ 四点共圆，且 $DB$ 是 $DA$ 的反向延长线，所以圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到

$$ \angle BDE=\angle ACE. $$

由于 $E、C、B$ 三点共线，所以

$$ \angle ACE=\angle ACB. $$

因此

$$ \angle BDE=\angle ACB. $$

另一方面，因为 $B、C、D、F$ 四点共圆，且 $DA$ 是 $DB$ 的反向延长线，所以

$$ \angle FDA=\angle BCF. $$

又因为 $A、F、C$ 三点共线，所以

$$ \angle BCF=\angle BCA. $$

因此

$$ \angle FDA=\angle BCA. $$

而

$$ \angle ACB=\angle BCA, $$

它们表示的都是 $\triangle ABC$ 的 $C$ 角，所以

$$ \boxed{\angle BDE=\angle FDA}. $$

因此，直线 $AB$ 平分了 $\triangle DEF$ 在 $D$ 点的外角，即

$$ \boxed{AB\text{ 是 }\triangle DEF\text{ 在 }D\text{ 点的外角平分线}}. $$

§ 3. 同理得到另外两条外角平分线

利用相同的共圆关系，可以得到

$$ \angle BED=\angle CEF, $$

所以

$$ \boxed{BC\text{ 是 }\triangle DEF\text{ 在 }E\text{ 点的外角平分线}}. $$

又可以得到

$$ \angle AFD=\angle EFC, $$

所以

$$ \boxed{AC\text{ 是 }\triangle DEF\text{ 在 }F\text{ 点的外角平分线}}. $$

综上：

$$ \boxed{ \begin{aligned} AB&\text{ 是 }D\text{ 点的外角平分线},\\ BC&\text{ 是 }E\text{ 点的外角平分线},\\ AC&\text{ 是 }F\text{ 点的外角平分线}. \end{aligned}} $$

§ 三、求点 A 到 DE、EF、DF 的距离

角平分线上的点，到角的两边所在直线的距离相等。

因为 $A$ 在 $D$ 点的外角平分线 $AB$ 上，所以点 $A$ 到直线 $DE、DF$ 的距离相等。

又因为 $A$ 在 $F$ 点的外角平分线 $AC$ 上，所以点 $A$ 到直线 $DF、EF$ 的距离相等。

因此，点 $A$ 到 $DE、EF、DF$ 三条直线的距离全部相等。

设这个共同距离为 $r_A$。

观察四边形 $ADEF$。

连接 $AE$，可得

$$ S_{ADEF}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle AEF}. $$

连接 $DF$，又可得

$$ S_{ADEF}=S_{\triangle ADF}+S_{\triangle DEF}. $$

所以

$$ S_{\triangle ADE}+S_{\triangle AEF} = S_{\triangle ADF}+S_{\triangle DEF}. $$

移项得

$$ S_{\triangle DEF} = S_{\triangle ADE} +S_{\triangle AEF} -S_{\triangle ADF}. $$

三个三角形以 $DE、EF、DF$ 为底时，对应的高都为 $r_A$，所以

$$ 60 = \frac12\cdot DE\cdot r_A +\frac12\cdot EF\cdot r_A -\frac12\cdot DF\cdot r_A. $$

代入 $DE=15，EF=8，DF=17$，得到

$$ 60 = \frac12\cdot15r_A +\frac12\cdot8r_A -\frac12\cdot17r_A. $$

整理得

$$ 60 =\frac12(15+8-17)r_A =\frac12\cdot6r_A =3r_A. $$

因此

$$ \boxed{r_A=20}. $$

§ 四、求点 B、C 到三边所在直线的距离

§ 1. 求点 B 的共同距离

设点 $B$ 到 $DE、EF、DF$ 三条直线的距离为 $r_B$。

对四边形 $BDFE$ 作与上面相同的面积分割，有

$$ S_{\triangle DEF} = S_{\triangle BDF} +S_{\triangle BEF} -S_{\triangle BDE}. $$

所以

$$ 60 = \frac12\cdot DF\cdot r_B +\frac12\cdot EF\cdot r_B -\frac12\cdot DE\cdot r_B. $$

代入数据：

$$ 60 = \frac12(17+8-15)r_B =\frac12\cdot10r_B =5r_B. $$

因此

$$ \boxed{r_B=12}. $$

§ 2. 求点 C 的共同距离

设点 $C$ 到 $DE、EF、DF$ 三条直线的距离为 $r_C$。

同理可得

$$ S_{\triangle DEF} = S_{\triangle CDE} +S_{\triangle CDF} -S_{\triangle CEF}. $$

所以

$$ 60 = \frac12\cdot DE\cdot r_C +\frac12\cdot DF\cdot r_C -\frac12\cdot EF\cdot r_C. $$

代入数据：

$$ 60 = \frac12(15+17-8)r_C =\frac12\cdot24r_C =12r_C. $$

因此

$$ \boxed{r_C=5}. $$

§ 五、求 AE 和 BC

因为

$$ \angle DEF=90^\circ, $$

而 $BC$ 是 $E$ 点的外角平分线。

一个角的内角平分线与外角平分线互相垂直，又因为

$$ AE\perp BC, $$

所以 $AE$ 是 $\angle DEF$ 的内角平分线。

因此

$$ \angle AEF=\frac12\angle DEF=45^\circ. $$

点 $A$ 到直线 $EF$ 的距离为

$$ r_A=20. $$

在相应的等腰直角三角形中，$AE$ 是斜边，因此

$$ AE=20\sqrt2. $$

即

$$ \boxed{AE=20\sqrt2}. $$

同样，$BC$ 是直角 $\angle DEF$ 的外角平分线，所以它与直线 $DE、EF$ 都成 $45^\circ$。

点 $B$ 到 $DE、EF$ 的距离为 $12$，所以

$$ BE=12\sqrt2. $$

点 $C$ 到 $DE、EF$ 的距离为 $5$，所以

$$ CE=5\sqrt2. $$

由于 $E$ 在线段 $BC$ 上，因此

$$ BC=BE+CE. $$

所以

$$ BC=12\sqrt2+5\sqrt2=17\sqrt2. $$

即

$$ \boxed{BC=17\sqrt2}. $$

§ 六、求 △ABC 的面积

因为

$$ AE\perp BC, $$

所以以 $BC$ 为底时，$AE$ 就是对应的高。

于是

$$ S_{\triangle ABC} =\frac12\cdot BC\cdot AE. $$

代入

$$ BC=17\sqrt2,\qquad AE=20\sqrt2, $$

得到

$$ \begin{aligned} S_{\triangle ABC} &=\frac12\cdot17\sqrt2\cdot20\sqrt2\\ &=\frac12\cdot17\cdot20\cdot2\\ &=340. \end{aligned} $$

因此

$$ \boxed{S_{\triangle ABC}=340}. $$

§ 最终答案

$$ \boxed{340} $$

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有奖数学题解答

§ 题目

§ 解答

§ 一、判断 △DEF 的形状

§ 二、证明 AB、BC、AC 分别是 △DEF 的外角平分线

§ 1. 先证明三个四边形共圆

§ 2. 证明 AB 是 D 点的外角平分线

§ 3. 同理得到另外两条外角平分线

§ 三、求点 A 到 DE、EF、DF 的距离

§ 四、求点 B、C 到三边所在直线的距离

§ 1. 求点 B 的共同距离

§ 2. 求点 C 的共同距离

§ 五、求 AE 和 BC

§ 六、求 △ABC 的面积

§ 最终答案