§ 题目
在 \(\triangle ABC\) 中，
$$ AE\perp BC,\qquad BF\perp AC,\qquad CD\perp AB, $$垂足分别为 \(E、F、D\)。已知
$$ DE=15,\qquad EF=8,\qquad DF=17, $$求 \(\triangle ABC\) 的面积。
§ 解答
§ 一、判断 △DEF 的形状
因为
$$ DE^2+EF^2=15^2+8^2 =225+64 =289 =17^2 =DF^2, $$所以根据勾股定理的逆定理，得到
$$ \boxed{\angle DEF=90^\circ}. $$因此，\(\triangle DEF\) 是以 \(DF\) 为斜边的直角三角形。
它的面积为
$$ S_{\triangle DEF} =\frac12\cdot DE\cdot EF =\frac12\cdot15\cdot8 =60. $$即
$$ \boxed{S_{\triangle DEF}=60}. $$§ 二、证明 AB、BC、AC 分别是 △DEF 的外角平分线
§ 1. 先证明三个四边形共圆
因为
$$ CD\perp AB, $$并且 \(D\) 在 \(AB\) 上，所以
$$ \angle ADC=90^\circ. $$又因为
$$ AE\perp BC, $$并且 \(E\) 在 \(BC\) 上，所以
$$ \angle AEC=90^\circ. $$于是
$$ \angle ADC=\angle AEC=90^\circ, $$所以 \(A、D、E、C\) 四点在以 \(AC\) 为直径的圆上，即
$$ \boxed{A、D、E、C\text{ 四点共圆}}. $$同理，因为
$$ \angle BDC=\angle BFC=90^\circ, $$所以
$$ \boxed{B、C、D、F\text{ 四点共圆}}. $$又因为
$$ \angle AEB=\angle AFB=90^\circ, $$所以
$$ \boxed{A、B、E、F\text{ 四点共圆}}. $$§ 2. 证明 AB 是 D 点的外角平分线
因为 \(A、D、E、C\) 四点共圆，且 \(DB\) 是 \(DA\) 的反向延长线，所以圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到
$$ \angle BDE=\angle ACE. $$由于 \(E、C、B\) 三点共线，所以
$$ \angle ACE=\angle ACB. $$因此
$$ \angle BDE=\angle ACB. $$另一方面，因为 \(B、C、D、F\) 四点共圆，且 \(DA\) 是 \(DB\) 的反向延长线，所以
$$ \angle FDA=\angle BCF. $$又因为 \(A、F、C\) 三点共线，所以
$$ \angle BCF=\angle BCA. $$因此
$$ \angle FDA=\angle BCA. $$而
$$ \angle ACB=\angle BCA, $$它们表示的都是 \(\triangle ABC\) 的 \(C\) 角，所以
$$ \boxed{\angle BDE=\angle FDA}. $$因此，直线 \(AB\) 平分了 \(\triangle DEF\) 在 \(D\) 点的外角，即
$$ \boxed{AB\text{ 是 }\triangle DEF\text{ 在 }D\text{ 点的外角平分线}}. $$§ 3. 同理得到另外两条外角平分线
利用相同的共圆关系，可以得到
$$ \angle BED=\angle CEF, $$所以
$$ \boxed{BC\text{ 是 }\triangle DEF\text{ 在 }E\text{ 点的外角平分线}}. $$又可以得到
$$ \angle AFD=\angle EFC, $$所以
$$ \boxed{AC\text{ 是 }\triangle DEF\text{ 在 }F\text{ 点的外角平分线}}. $$综上：
$$ \boxed{ \begin{aligned} AB&\text{ 是 }D\text{ 点的外角平分线},\\ BC&\text{ 是 }E\text{ 点的外角平分线},\\ AC&\text{ 是 }F\text{ 点的外角平分线}. \end{aligned}} $$§ 三、求点 A 到 DE、EF、DF 的距离
角平分线上的点，到角的两边所在直线的距离相等。
因为 \(A\) 在 \(D\) 点的外角平分线 \(AB\) 上，所以点 \(A\) 到直线 \(DE、DF\) 的距离相等。
又因为 \(A\) 在 \(F\) 点的外角平分线 \(AC\) 上，所以点 \(A\) 到直线 \(DF、EF\) 的距离相等。
因此，点 \(A\) 到 \(DE、EF、DF\) 三条直线的距离全部相等。
设这个共同距离为 \(r_A\)。
观察四边形 \(ADEF\)。
连接 \(AE\)，可得
$$ S_{ADEF}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle AEF}. $$连接 \(DF\)，又可得
$$ S_{ADEF}=S_{\triangle ADF}+S_{\triangle DEF}. $$所以
$$ S_{\triangle ADE}+S_{\triangle AEF} = S_{\triangle ADF}+S_{\triangle DEF}. $$移项得
$$ S_{\triangle DEF} = S_{\triangle ADE} +S_{\triangle AEF} -S_{\triangle ADF}. $$三个三角形以 \(DE、EF、DF\) 为底时，对应的高都为 \(r_A\)，所以
$$ 60 = \frac12\cdot DE\cdot r_A +\frac12\cdot EF\cdot r_A -\frac12\cdot DF\cdot r_A. $$代入 \(DE=15，EF=8，DF=17\)，得到
$$ 60 = \frac12\cdot15r_A +\frac12\cdot8r_A -\frac12\cdot17r_A. $$整理得
$$ 60 =\frac12(15+8-17)r_A =\frac12\cdot6r_A =3r_A. $$因此
$$ \boxed{r_A=20}. $$§ 四、求点 B、C 到三边所在直线的距离
§ 1. 求点 B 的共同距离
设点 \(B\) 到 \(DE、EF、DF\) 三条直线的距离为 \(r_B\)。
对四边形 \(BDFE\) 作与上面相同的面积分割，有
$$ S_{\triangle DEF} = S_{\triangle BDF} +S_{\triangle BEF} -S_{\triangle BDE}. $$所以
$$ 60 = \frac12\cdot DF\cdot r_B +\frac12\cdot EF\cdot r_B -\frac12\cdot DE\cdot r_B. $$代入数据：
$$ 60 = \frac12(17+8-15)r_B =\frac12\cdot10r_B =5r_B. $$因此
$$ \boxed{r_B=12}. $$§ 2. 求点 C 的共同距离
设点 \(C\) 到 \(DE、EF、DF\) 三条直线的距离为 \(r_C\)。
同理可得
$$ S_{\triangle DEF} = S_{\triangle CDE} +S_{\triangle CDF} -S_{\triangle CEF}. $$所以
$$ 60 = \frac12\cdot DE\cdot r_C +\frac12\cdot DF\cdot r_C -\frac12\cdot EF\cdot r_C. $$代入数据：
$$ 60 = \frac12(15+17-8)r_C =\frac12\cdot24r_C =12r_C. $$因此
$$ \boxed{r_C=5}. $$§ 五、求 AE 和 BC
因为
$$ \angle DEF=90^\circ, $$而 \(BC\) 是 \(E\) 点的外角平分线。
一个角的内角平分线与外角平分线互相垂直，又因为
$$ AE\perp BC, $$所以 \(AE\) 是 \(\angle DEF\) 的内角平分线。
因此
$$ \angle AEF=\frac12\angle DEF=45^\circ. $$点 \(A\) 到直线 \(EF\) 的距离为
$$ r_A=20. $$在相应的等腰直角三角形中，\(AE\) 是斜边，因此
$$ AE=20\sqrt2. $$即
$$ \boxed{AE=20\sqrt2}. $$同样，\(BC\) 是直角 \(\angle DEF\) 的外角平分线，所以它与直线 \(DE、EF\) 都成 \(45^\circ\)。
点 \(B\) 到 \(DE、EF\) 的距离为 \(12\)，所以
$$ BE=12\sqrt2. $$点 \(C\) 到 \(DE、EF\) 的距离为 \(5\)，所以
$$ CE=5\sqrt2. $$由于 \(E\) 在线段 \(BC\) 上，因此
$$ BC=BE+CE. $$所以
$$ BC=12\sqrt2+5\sqrt2=17\sqrt2. $$即
$$ \boxed{BC=17\sqrt2}. $$§ 六、求 △ABC 的面积
因为
$$ AE\perp BC, $$所以以 \(BC\) 为底时，\(AE\) 就是对应的高。
于是
$$ S_{\triangle ABC} =\frac12\cdot BC\cdot AE. $$代入
$$ BC=17\sqrt2,\qquad AE=20\sqrt2, $$得到
$$ \begin{aligned} S_{\triangle ABC} &=\frac12\cdot17\sqrt2\cdot20\sqrt2\\ &=\frac12\cdot17\cdot20\cdot2\\ &=340. \end{aligned} $$因此
$$ \boxed{S_{\triangle ABC}=340}. $$
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